觀歷史中孕育文明的地域和城市,幾乎都離不開河流和運(yùn)輸。無論是連通南北的京杭大運(yùn)河,還是貫穿東西的絲綢之路,都是因?yàn)橛辛诉\(yùn)輸,物資和文明才得以交流、發(fā)展和繁榮。而反觀我們熟悉的流體力學(xué),也正是因?yàn)橛辛肆黧w的輸運(yùn),才有了速度、溫度、壓力以及各種組分和物理量的傳遞和變化,進(jìn)而產(chǎn)生了豐富的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)。
大家都知道常見的流體輸運(yùn)方式有對(duì)流和擴(kuò)散,那么它們是如何傳輸流體的?它們之間又有什么關(guān)系?我們還是從最基礎(chǔ)的雷諾輸運(yùn)定理開始講起。
古希臘哲學(xué)家赫拉克利特曾經(jīng)說過一句非常著名的話:“人不能兩次踏進(jìn)同一條河流”,這句充滿哲理的話充分反映了運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的,靜止是相對(duì)的。這句話對(duì)于河流和所有流體都適用,流體每時(shí)每刻都在運(yùn)動(dòng),那么伴隨著流體運(yùn)動(dòng)的物理量該如何去描述呢?這時(shí)候又要請(qǐng)出流體力學(xué)的大師雷諾同志了。
一般情況下,基本物理定理都是針對(duì)體系來描述的,但是流體運(yùn)動(dòng)太過復(fù)雜,難以定義體系的邊界。通常分析流體運(yùn)動(dòng)多采用控制體法,而我們接下來介紹的雷諾輸運(yùn)定理就是把某個(gè)隨流物理量的總和對(duì)時(shí)間的變化率以控制體的形式來表示。
在流場(chǎng)中任意取一控制體V,表面積為A。以t時(shí)刻位于控制體內(nèi)的流體作為研究對(duì)象,此時(shí),控制體與流體完全一致,占據(jù)下圖中Ⅰ和Ⅱ的區(qū)域,?t時(shí)刻后,流體運(yùn)動(dòng)到了新的Ⅱ和Ⅲ的區(qū)域,以N表示控制體內(nèi)任意隨流物理量(速度、能量、質(zhì)量等),以η表示單位體積流體所具有的隨流物理量。可以通過下圖的方法推導(dǎo)出總的隨流物理量對(duì)時(shí)間的變化率。
通過上述的推導(dǎo),我們可以得到雷諾輸運(yùn)定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式,同樣可以得到它的物理描述:某時(shí)刻一個(gè)體系內(nèi)的流體具有的總隨流物理量對(duì)時(shí)間的變化率,等于該時(shí)刻控制體中總隨流物理量對(duì)時(shí)間的變化率與單位時(shí)間內(nèi)該物理量通過控制面的凈流出之和。
注意等式的左側(cè)為包含一團(tuán)流體的體系,其體積和形狀邊界都隨該部分流體的運(yùn)動(dòng)而變化,等式的右側(cè)分別是針對(duì)靜止控制體及其控制面的積分,被積函數(shù)也都是歐拉參考系中的變量。本質(zhì)上講,雷諾輸運(yùn)定理給出了一團(tuán)流體的物理量變化在拉式坐標(biāo)和歐式坐標(biāo)下的轉(zhuǎn)換關(guān)系。
沒看懂?舉個(gè)栗子吧。下午五點(diǎn)的時(shí)候,在盧比和鋼蛋的小酒館里面有100瓶冰鎮(zhèn)啤酒, 1個(gè)小時(shí)后還有多少取決于兩件事情:被顧客買走了多少和批發(fā)商送來了多少(通過控制面的變化),以及盧比和鋼蛋偷喝了多少(控制體內(nèi)的變化)。
雷諾輸運(yùn)定理在物理意義上和物質(zhì)導(dǎo)數(shù)相同,實(shí)質(zhì)上都是描述了流體的物理量伴隨著流體而輸運(yùn)的含義。那么流體到底是怎么輸運(yùn)的呢?
流體的輸運(yùn)可以理解為一種流動(dòng)的質(zhì)量傳遞現(xiàn)象,主要包括對(duì)流和擴(kuò)散兩種方式。以下圖中的火山爆發(fā)為例, 小伙伴們可以很容易的理解,火山噴發(fā)時(shí)從下向上的高速?zèng)_擊便是對(duì)流,而噴出后的濃煙又會(huì)不斷的向周圍蔓延,便形成了擴(kuò)散。
通過火山噴發(fā)的例子,小伙伴們可以看到,對(duì)流是依靠流體整體的運(yùn)動(dòng)傳送物理量,可以理解為宏觀上的機(jī)械運(yùn)動(dòng),一般情況下,根據(jù)是否有外力作用可以分為強(qiáng)制對(duì)流和自然對(duì)流。
強(qiáng)制對(duì)流就是直接對(duì)流體施加壓力或者剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng),強(qiáng)迫流體發(fā)生運(yùn)動(dòng),比如在炎熱的夏天,打開電風(fēng)扇對(duì)著吹便是典型的強(qiáng)制對(duì)流。而自然對(duì)流則表示沒有外力強(qiáng)制作用的情況下,由于溫度等參數(shù)的不均勻而形成的密度差,從而導(dǎo)致重力場(chǎng)或其他力場(chǎng)中產(chǎn)生浮升力所引起的對(duì)流現(xiàn)象,比如一碗熱氣騰騰的牛肉面。
不同于對(duì)流是宏觀的流體運(yùn)動(dòng),擴(kuò)散本質(zhì)上是微觀層面上,由分子熱運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的。理論上,分子熱運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)的,但是當(dāng)流場(chǎng)中的分子濃度或者熱力學(xué)壓力不均勻時(shí),比如下圖所示的流體兩側(cè)的分子濃度不同,那么顯然,從左側(cè)向右側(cè)運(yùn)動(dòng)的分子數(shù)多于反向的,因此形成了從高濃度向低濃度擴(kuò)散的現(xiàn)象,當(dāng)然這也可以解釋為粒子總是從高化學(xué)勢(shì)向低化學(xué)勢(shì)區(qū)域轉(zhuǎn)移,直到兩者相等并達(dá)到平衡。
擴(kuò)散是由無數(shù)單個(gè)粒子的隨機(jī)速度引起的質(zhì)量傳遞,而對(duì)流是由一團(tuán)分子的平均速度引起的質(zhì)量傳遞。一般而言,對(duì)流和擴(kuò)散會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在流場(chǎng)中,但是擴(kuò)散會(huì)比強(qiáng)迫對(duì)流的速度慢很多,比如炒菜的時(shí)候產(chǎn)生的油煙,如果單純的依靠擴(kuò)散,則需要很長時(shí)間才能消散,如果打開抽油煙機(jī),便可以通過強(qiáng)迫對(duì)流快速的將油煙排走??磥沓浞掷斫饬黧w力學(xué)才能炒的一手好菜。
流體的運(yùn)動(dòng)無時(shí)無刻不與對(duì)流和擴(kuò)散發(fā)生著聯(lián)系,而對(duì)流和擴(kuò)散又常常同時(shí)存在,那么它們之間究竟是怎樣的關(guān)系呢?
為了更好的描述流體輸運(yùn)過程中對(duì)流和擴(kuò)散之間的關(guān)系,流體力學(xué)中將對(duì)流速率與擴(kuò)散速率之比定義為一個(gè)無量綱數(shù),命名為佩克萊數(shù)(Peclet number,簡稱Pe數(shù)),其中擴(kuò)散速率是指在一定濃度梯度驅(qū)使下的擴(kuò)散速率。在流動(dòng)傳質(zhì)的情況下,Pe 數(shù)是雷諾數(shù)(Re)和施密特?cái)?shù)(Sc)的乘積。而在流動(dòng)傳熱中, Pe數(shù)相當(dāng)于雷諾數(shù)(Re)和普朗特?cái)?shù)(Pr)的乘積。
佩克萊數(shù)表征了對(duì)流和擴(kuò)散的強(qiáng)度之比,而對(duì)流擴(kuò)散方程則在數(shù)學(xué)上描述了對(duì)流擴(kuò)散現(xiàn)象。如下圖所示,對(duì)流擴(kuò)散方程可拆解為對(duì)流方程和擴(kuò)散方程,其中的φ為某一物理量,u代表了流動(dòng)的速率,α代表了擴(kuò)散速率。而對(duì)于傳熱問題,φ表示溫度,α則表示熱擴(kuò)散系數(shù),被輸運(yùn)的對(duì)象便是熱量。
而如果把對(duì)流擴(kuò)散方程中的α轉(zhuǎn)化為粘度μ,并把被輸運(yùn)的物理量指定為動(dòng)量,再加入壓力的影響,那么一維對(duì)流擴(kuò)散方程就變成了沿x方向上的動(dòng)量方程。小伙伴們是不是感覺這個(gè)方程很眼熟?
沒錯(cuò),這就是忽略外力條件下的不可壓縮N-S方程的一維形式。N-S方程可以理解為一個(gè)特殊的對(duì)流擴(kuò)散方程,而此時(shí)流動(dòng)所輸運(yùn)的恰恰是動(dòng)量本身。而作為流體力學(xué)的葵花寶典,N-S方程中最痛的一刀就是方程的第二項(xiàng),即速度輸運(yùn)速度自己。
當(dāng)然,對(duì)流和擴(kuò)散還有另外一個(gè)小秘密。如果從時(shí)間的尺度研究對(duì)流和擴(kuò)散,會(huì)得到更加有趣的關(guān)系。前面解釋過,對(duì)流可以描述為流體的平均運(yùn)動(dòng),因此對(duì)流的時(shí)間尺度可以描述為物理特征尺度和氣流速度之比,而擴(kuò)散的時(shí)間尺度則可以通過物理特征尺度和運(yùn)動(dòng)粘度來描述。假如我們把這兩個(gè)時(shí)間相比,奇妙的事情便發(fā)生了,它們之間的比值恰恰是雷諾數(shù)Re的定義!
小伙伴們應(yīng)該還記得雷諾數(shù)起源于經(jīng)典的流動(dòng)染色實(shí)驗(yàn):當(dāng)流體的物理尺度或流速增加,或流體的粘性減小時(shí),流體的流態(tài)更趨向于某種混亂無規(guī)則的狀態(tài)。
隨后很長一段時(shí)間,眾多學(xué)者沿著雷諾的足跡開始研究湍流的觸發(fā)機(jī)理,卻一直沒有答案,直到1908年,恰逢第四屆國際數(shù)學(xué)大會(huì),索末菲將計(jì)就計(jì),將他對(duì)流動(dòng)穩(wěn)定性和湍流觸發(fā)機(jī)理的思考寫成文章,并在歷史上第一次明確以“雷諾數(shù)”命名這個(gè)神奇的無量綱數(shù)。
我們都知道雷諾數(shù)表示慣性力和粘性力的比值,當(dāng)雷諾數(shù)很大時(shí),則意味著粘性力對(duì)流動(dòng)的影響很小,流體可以自由的流動(dòng),而當(dāng)雷諾數(shù)很小時(shí),則意味著粘性力占優(yōu)。而從流體輸運(yùn)的角度出發(fā),我們還能領(lǐng)會(huì)到擴(kuò)散時(shí)間和對(duì)流時(shí)間的此消彼長。當(dāng)雷諾數(shù)很大時(shí),意味著擴(kuò)散時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于對(duì)流時(shí)間,對(duì)流的效應(yīng)碾壓了擴(kuò)散,擴(kuò)散也就漸漸被忽略了。
既然前面提到了流體力學(xué)中最重要的無量綱數(shù)Re和運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)-S方程,那么它們倆之間又要怎樣的關(guān)系呢?公眾號(hào)再次發(fā)揚(yáng)“人狠話不多”的精神,直接推導(dǎo)不可壓縮N-S方程的無量綱形式,如下圖所示。
神奇的事情又一次發(fā)生了,無量綱的N-S方程只剩下一個(gè)無量綱數(shù)——雷諾數(shù),它隱藏在擴(kuò)散項(xiàng)中,這意味著雷諾數(shù)將很大程度上影響到無量綱N-S方程的解,當(dāng)然這也從側(cè)面反映了雷諾數(shù)對(duì)流動(dòng)狀態(tài)的影響。需要特別說明的是,上述推導(dǎo)僅適用于低速不可壓的流動(dòng)問題。對(duì)于高速問題,我們還需要考慮馬赫數(shù)等無量綱數(shù)。
對(duì)流和擴(kuò)散就好像流體輸運(yùn)的一幅車輪,傳輸著流場(chǎng)中各種各樣的物理量,也形成了形態(tài)各異的流場(chǎng)結(jié)構(gòu),它們攜手從復(fù)雜的雷諾輸運(yùn)方程中走來,又一起回到了簡潔的雷諾數(shù),仿佛一個(gè)完美的流體力學(xué)閉環(huán)。
文章轉(zhuǎn)載自LBM與流體力學(xué)
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